Hay de muchos tipos algunos fueron mares o lagos y en otros simplemente el agua dejó de caer o hace demasiado frio

¿Qué es un desierto?
Se le llama desierto a las regiones que casi no llueve en todo el año, o llueve menos de 25cm3. Es un ecosistema que tiene fama de tener poca vida, pero eso depende del tipo de desierto y de que sepamos buscar en él.

En todo el planeta
Los desiertos forman la zona más extensa de la superficie terrestre: con más de 50 millones de kilómetros cuadrados, ocupan casi un tercio de ésta. De este total, 53% corresponden a desiertos cálidos y 47% a desiertos fríos.

Explicación
Para responder nuestra pregunta de si todos los desiertos son de arena tenemos que investigar primero los tipos de desiertos que son los siguientes:

Desierto arenoso: es aquel que están compuesto principalmente por arena, que por acción de los vientos conforma las dunas.

Desierto pedregoso o rocoso: es aquel cuyo terreno está constituido por rocas o guijarros y varios de ellos no tienen arena sino tierra muy seca, en este tipo de desiertos suele haber algunas plantas y vida como insectos, serpientes, roedores o carroñeros.

Desierto frío: cubiertos de nieve; estos lugares no reciben mucha lluvia, y la que cae permanece congelada como nieve compacta. Estas áreas se llaman comúnmente tundra, cuando en ellas existe una corta estación con temperaturas por encima de cero grados Celsius y florece algo de vegetación en ese periodo; o regiones polares, si la temperatura permanece bajo el punto de congelación durante todo el año, dejando el suelo prácticamente sin formas de vida.

Desiertos de sal: también llamados salares y como su nombre lo dice son de sal, existen en donde antes había algún lago superficial en cuyos sedimentos dominan las sales como boratos, cloruros, nitratos, sulfatos, debido al calor el agua se evapora más rápido de lo que vuelve a caer por lo que la mayor parte del tiempo hay sólo sal sobre la tierra y otro tanto hay un poco de agua.

Respuesta
Como pudimos ver no todos los desiertos son de arena, hay que aclarar de que los desiertos cálidos que son los arenosos, los pedregosos y los salares pueden estar combinados es decir donde acaba el arenoso comenzar el rocoso o donde acaba el rocoso el salar.